1、第一，希伯斯（Hippasu，米太旁登地方人，公元前5世紀）發現了一個腰為1的等腰直角三角形的斜邊（即根號2）永遠無法用最簡整數比（不可公度比）來表示，從而發現了第一個無理數，推翻了畢達哥拉斯的著名理論。

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2、相傳當時畢達哥拉斯派的人正在海上，但就因為這一發現而把希伯斯拋入大海。

3、第二，微積分的合理性遭到嚴重質疑，險些要把整個微積分理論推翻。

4、第三，羅素悖論：S由一切不是自身元素的集合所組成，那S包含S嗎？用通俗一點的話來說，小明有一天說：“我正在撒謊！”問小明到底撒謊還是說實話。

5、羅素悖論的可怕在于，它不像最大序數悖論或最大基數悖論那樣涉及集合高深知識，它很簡單，卻可以輕松摧毀集合理論！擴展資料：第二次危機解決：經過柯西（微積分收官人）用極限的方法定義了無窮小量，微積分理論得以發展和完善，從而使數學大廈變得更加輝煌美麗！第三次危機解決：排除悖論：危機產生后，數學家紛紛提出自己的解決方案。

6、人們希望能夠通過對康托爾的集合論進行改造，通過對集合定義加以限制來排除悖論，這就需要建立新的原則。

7、“這些原則必須足夠狹窄，以保證排除一切矛盾；另一方面又必須充分廣闊，使康托爾集合論中一切有價值的內容得以保存下來。

8、”1908年，策梅羅在自己這一原則基礎上提出第一個公理化集合論體系，后來經其他數學家改進，稱為ZF系統。

9、這一公理化集合系統很大程度上彌補了康托爾樸素集合論的缺陷。

10、除ZF系統外，集合論的公理系統還有多種，如諾伊曼等人提出的NBG系統等。

11、公理化集合系統：成功排除了集合論中出現的悖論，從而比較圓滿地解決了第三次數學危機。

12、但在另一方面，羅素悖論對數學而言有著更為深刻的影響。

13、它使得數學基礎問題第一次以最迫切的需要的姿態擺到數學家面前，導致了數學家對數學基礎的研究。

14、而這方面的進一步發展又極其深刻地影響了整個數學。

15、如圍繞著數學基礎之爭，形成了現代數學史上著名的三大數學流派，而各派的工作又都促進了數學的大發展等等。

16、參考資料：百度百科----數學三大危機。

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